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數學學習路徑

數學學習路徑

大學數學基礎課是數學分析,高等代數,概率三門。

數學分析(或叫做高等數學,微積分)經典名著太多了,比如菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》,柯朗的《微積分和數學分析引論》,卓里奇的《數學分析》,還有美國教材《托馬斯微積分》,都是好書,不過這些都是惶惶巨著,需要下大功夫研讀,如果想從很淺的基礎開始看,可以看《普林斯頓微積分讀本》(網上有48課時視頻)。所有這些都比國內教材(比如同濟的)好很多很多。如果英語基礎好的話直接看英文版的,否則看中文的也行。

高等代數(或者叫做線性代數),可以看David C.Lay的《線性代數及其應用》,這本書入門級別,但是質量很高,掌握之后可以看《線性代數應該這樣學》,看完線性代數后還覺得不過癮,可以看高等代數,或者矩陣分析,矩陣理論等等教材,有了線性代數的基礎,就有了免疫力,不至于被國內的枯燥教材弄惡心了。

概率論,看國外的最好

這三門學完后,就可以進階了,首先是在這三門的基礎上進階,數學分析進階可以看實變函數方面的書,比如《陶哲軒實分析》,不過這本書偏重數學分析的內容,算是對數學分析的深化理解。高等代數進階剛才說過了,可以看矩陣分析方面的書。多個方向同時進階可以看咱們華羅庚的《高等數學引論》。

數學的主要幾個分支大概是:代數,幾何,分析,概率,離散,計算,當然分類不是唯一的。進階結束之后就可以向著這些方向進發了:

代數方面的,可以看Artin的《代數》,算是入門書,看完之后就可以看代數里的各個方向的著作,比如數論,群論,環,域,拓撲等等。這些方面也是經典著作云集,以國外的為主。

幾何方面的,其實幾何與代數到了最后好像要統一了?梢韵瓤唇馕鰩缀稳腴T,然后進入微分幾何,黎曼幾何,流形,射影幾何,畫法幾何,雙曲幾何等等。幾何與代數統一敘述的著作,可以看代數拓撲,代數幾何,代數曲線,同調論方面的書。

數學中最大的一個分支應該是分析吧,它主要包括:實分析,復分析,泛函分析,調和分析,向量分析,張量分析,場論,函數論,常微分方程,偏微分方程,積分方程,積分變換,變分法,特殊函數等等。分析這方面相比代數之類的方向來說,更加偏應用一些。這些方面好書實在太多了,首先就是stein的四部曲:《傅里葉分析》,《實分析》,《復分析》,《泛函分析》。這四部書不厚,但是內容多,不過只要懂微積分和線性代數就可以學習了。
復分析還可以看拉夫連季耶夫的《復變函數論方法》,以及一本超級好書:《復分析:可視化方法》,前者講復分析的方法(主要是共形映射)在各個物理,經濟等學科里的應用方法,后者主要是把復變函數的抽象思想用非常美的圖形表現出來,而且很深刻。
函數論方面可以看法蘭西數學系列(藍色封皮的)一些書,以及國內的兩本:路見可的《解析函數邊值問題教程》,聞國椿的《共形映射與邊值問題》,函數論常常和奇異積分方程相聯系,這方面有經典巨著:穆斯海里什維利的《奇異積分方程》
實分析常常和泛函分析相聯系,可以看國內夏道行的《實變函數與泛函分析》,以及俄羅斯柯爾莫戈洛夫的《函數論與泛函分析初步》,美國Rudin的《泛函分析》等等。
學完實分析與復分析之后就可以看調和分析方面的書了,先推薦一本,stein的超級名著:《調和分析》,很厚,牛人stein的專業就是搞調和分析方面的,細細品味吧。
向量分析,張量分析,場論,其實這三個學科說是分析也是分析,說是幾何也是幾何,他們和微分幾何有著很多聯系,可以先看點入門的,比如國內的兩本,一本工程數學類的綠色封皮的《矢量分析與場論》,一本白色封皮的《向量分析與場論》,都很薄,不過可以同時看美國Matthews的《向量微積分》,這本書也不厚,但是它后面的內容會過渡到指標和張量,便于進入張量的學習。張量分析方面可以看國內黃克智的《張量分析》,絕對是好書,作者留學俄羅斯,數學推導功底深不可測,所以學習該書也需要親自動手推導,不過講的還是比較清楚的。如果還覺得不夠,可以看國外的《張量幾何》,誰寫的名字我忘了。張量本來就是和微分幾何一道由黎曼一手發展的,所以到了最后會偏向幾何了。
方程類的(常微分,偏微分,積分),前面兩者好書太多了,常微分的可以入門可以看俄羅斯龐特里亞金的《常微分方程》,以及錢偉長的《微分方程的解法及其應用》,國內的在這方面寫得還行。然后進階的可以看美國人寫的教材,一般都會過度到微分流形。偏微分方程,美國人寫的好書很多,就不說了。物理里面的《數學物理方法》,《數學物理方程》之類的書也會涉及偏微分方程的內容。微分方程的求解常常引出特殊函數,這方面可以看一本我們偉大的先進的文明的中華人民共和國在國際上唯一拿得出手的一本數學書:王竹溪的《特殊函數概論》,不過這本書雖說是概論,但內容很多,而且習題超難,據說王竹溪說過“我從來不查積分表”,不知道真的假的。如果覺得該書太難,那么可以看劉適式,劉適達兩人合著的《特殊函數》。積分方程與泛函分析聯系緊密,主要分為兩類,奇異積分方程與非奇異的,前者在函數論方面已經說過,后者入門的可以看沈以淡的《積分方程》,李星的《積分方程》,魏培君的《積分方程及其數值方法》,進階的可以看陳傳璋的《積分方程論及其應用》。路見可的《積分方程論》,不過積分方程搞得好的還是前蘇聯的,所以可以看看維庫阿等人的書。
積分變換屬于比較小的分支,但是應用卻及其廣泛,可以看復變函數,積分方程方面的書,里面一般會介紹傅里葉變換,拉普拉斯變換,Z變換,漢克爾變換,梅林變換,離散傅里葉變換,快速傅里葉變換,小波變換等等。小波變換一般在小波分析方面的書里有詳細介紹,小波分析主要是法國數學家發展起來的,很復雜啊。


三大分支介紹完了,再介紹一點別的分支。
概率論的書看完之后,可以看隨機過程,統計學等等后續的書。
離散數學主要在計算機相關專業應用較多,主要包括集合論,數理邏輯,關系代數,邏輯代數,圖論等等,每一門都是一個方向,有很多書。
計算數學又叫做數值分析,主要是講插值,逼近,擬合,矩陣計算,線性方程組求解,非線性方程求根,數值積分,數值微分,廣義最小二乘等等,隨便看哪本書都可以,重在編程計算。
我也是初學數學,希望可以幫到你

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